Reel Sayılar

TANIM1: Aşağıdaki beş takım aksiyomu gerçekleyen en az iki elemanlı \mathbb{R} kümesine reel (gerçel) sayılar kümesi, elemanlarına da reel (gerçel) sayılar denir.

I. TOPLAMA AKSİYOMLARI:

Her \left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} için \left( x,y \right)\to x+y\in \mathbb{R} şeklinde tanımlı +:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlar:

I{{}_{1}}.\,\forall a,b\in \mathbb{R},a+b=b+a,

I{{}_{2}}.\,\forall a,b,c\in \mathbb{R},a+(b+c)=(a+b)+c,

 

I{{}_{3}}.\,\exists 0\in \mathbb{R}:\forall a\in \mathbb{R},a+0=a (0’a toplamaya göre sıfır veya etkisiz eleman denir),

I{{}_{4}}.\,\forall a\in \mathbb{R},\exists b\in \mathbb{R}:a+b=0 (b’ye a’nın toplamaya göre tersi denir).

Üzerinde {{I}_{1}},{{I}_{2}},{{I}_{3}},{{I}_{4}} özelliklerini sağlayan \left( X,+ \right) ikilisine bir değişmeli toplamsal grup (veya Abel grubu) denir. O halde, \left( \mathbb{R},+ \right) bir değişmeli toplamsal gruptur.

II. ÇARPMA AKSİYOMLARI:

Her \left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} için \left( x,y \right)\to x\cdot y\in \mathbb{R} şeklinde tanımlı \cdot :\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlar:

II{{}_{1}}.\,\forall a,b\in \mathbb{R},a\cdot b=b\cdot a,

II{{}_{2}}.\,\forall a,b,c\in \mathbb{R},a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c,

II{{}_{3}}.\,\exists 1\in \mathbb{R}:\forall a\in \mathbb{R},a\cdot 1=a (1’e çarpmaya göre birim eleman denir),

II{{}_{4}}.\,\forall a\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\},\exists b\in \mathbb{R},a\cdot b=1 (b elemanına a’nın çarpmaya göre tersi denir).

a ve b elemanlarının çarpımı, çoğu zaman a\cdot{b} yerine ab ile gösterilir.

III. ÇARPMA İŞLEMİNİN TOPLAMA İŞLEMİ ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ:

Her a,b,c\in \mathbb{R} için (a+b)\cdot c=ac+bc.

Üzerinde I, II, III özelliklerini sağlayan (X,+,\cdot) üçlüsüne bir cisim denir. O halde (\mathbb{R},+,\cdot) bir cisimdir.

IV. SIRALAMA AKSİYOMLARI:

\mathbb{R} üzerinde “<” bağıntısı verilmiştir ve a\ne b olan herhangi a,b\in \mathbb{R} için a<b ve b<a önermelerinden bir ve yalnız biri doğrudur. Bu durumda a\le b \Leftrightarrow a<b veya a=b olarak tanımlanır. Ayrıca “<” bağıntısı aşağıdaki özellikleri sağlar:

IV{{}_{1}}.\,a<b ve b<c\Rightarrow a<c,

IV{{}_{2}}.\,a<b\Rightarrow \,\forall c\in \mathbb{R},\,a+c<b+c,

IV{{}_{3}}.\,a<b ve 0<c\Rightarrow \,ac<bc.

Bu özelliklere göre “\le” bir tam sıralama bağıntısıdır.

V. TAMLIK AKSİYOMU:

\mathbb{R}’nin boş olmayan A ve B alt kümeleri \forall a\in A ve \forall b\in B için a\le b eşitsizliğini sağlasın. Bu durumda, \forall a\in A ve \forall b\in B için a\le c\le b olacak şekilde c\in \mathbb{R} elemanı vardır.

Reel sayıların diğer tüm özellikleri I, II, III, IV, V aksiyomlarından ispatlanabilir. Bu özelliklerden bir kısmını bir teorem olarak verelim:

TEOREM1:

1. \mathbb{R}‘de toplamaya göre sıfır elemanı tektir.

2. \mathbb{R}‘de her elemanın toplamsal tersi tektir. (Her bir a\in \mathbb{R} elemanının toplamaya göre tersi -a ile, a+\left( -b \right)=a-b ile gösterilir)

3. \forall a,b\in \mathbb{R} için x+a=b denkleminin tek bir x=b+(-a)=b-a çözümü vardır.

4. \mathbb{R}’de çarpmaya göre birim eleman tektir.

5. Her a\ne 0 sayısının çarpmaya göre tersi tektir. (ab=1 ise \displaystyle{b={{a}^{-1}}=\frac{1}{a}} olarak , a,b\in R ve b\ne 0 için \displaystyle{a{{b}^{-1}}=a\cdot\frac{1}{b}=\frac{a}{b}} olarak gösterilir)

6. \forall a,b\in \mathbb{R}\,(a\ne 0) için a\cdot x=b denkleminin tek bir \displaystyle{x=b\cdot {{a}^{-1}}=b\cdot \frac{1}{a}=\frac{b}{a}} çözümü vardır.

7. Her a\in \mathbb{R} için a\cdot 0=0.

8. a\cdot b=0\,\Rightarrow \,a=0\,\,\text{veya}\,\,b=0.

9. Her a\in \mathbb{R} için (-1)\cdot a=-a.

10. Her a\in \mathbb{R} için (-1)\cdot (-a)=a.

11. Her a\in \mathbb{R} için (-a)\cdot (-a)=a\cdot a={{a}^{2}}.

12. Herhangi a,b\in \mathbb{R} için

a<b\wedge b\le c\Rightarrow a<c,

a\le b\wedge b<c\Rightarrow a<c.

13. Herhangi a,b,c,d\in \mathbb{R} için

0<a\Rightarrow -a<0,

a\le b\wedge c\le d\Rightarrow a+c\le b+d,

a\le b\wedge c<d\Rightarrow a+c<b+d.

14. a,b,c\in \mathbb{R} olmak üzere

0<a\wedge 0<b\Rightarrow 0<ab,

a<0\wedge 0<b\Rightarrow ab<0,

a<0\wedge b<0\Rightarrow 0<ab,

a<b\wedge c<0\Rightarrow bc<ac.

15. 0<a\Rightarrow 0<{{a}^{-1}}.

16. 0<a\wedge a<b\Rightarrow 0<{{b}^{-1}}\wedge {{b}^{-1}}<{{a}^{-1}}.

İSPAT:

0<a (veya a>0) eşitsizliğini sağlayan sayılara pozitif, a<0 sayılara ise negatif sayılar denir, sırasıyla  {{\mathbb{R}}^{+}}=\left\{ x\in \mathbb{R}\:|\:x>0 \right\} ve {{\mathbb{R}}^{-}}=\left\{ x\in \mathbb{R}\:|\:x<0 \right\} ile gösterilir.

TANIM2: Boş olmayan bir X\subset{\mathbb{R}} kümesi verilsin.

i) Her x\in X için x\le b olacak biçimde bir b\in \mathbb{R} sayısı varsa, X kümesine üstten sınırlıdır denir ve b sayısına da X kümesinin bir üst sınırı denir.

ii) Her x\in X için a\le x olacak biçimde bir a\in \mathbb{R} sayısı varsa, X kümesine alttan sınırlıdır denir ve a sayısına da X kümesinin bir alt sınırı denir.

iii) X hem alttan ve hem de üstten sınırlı ise, yani her x\in X için a\le x\le b olacak şekilde a ve b sayıları varsa, X‘e sınırlı küme denir.

iv) Her x\in X için x\le M olacak şekilde bir M\in X elemanı varsa, M‘ye X kümesinin maksimum (veya en büyük) elemanı denir ve M=\underset{x\in X}{\mathop{\max }}\,\left\{ x \right\} veya M=\max \left\{ x|x\in X \right\} şeklinde gösterilir.

v) Her x\in X için m\le x olacak şekilde bir m\in X elemanı varsa, m‘ye X kümesinin minimum (veya en küçük) elemanı denir ve m=\underset{x\in X}{\mathop{\min }}\,\left\{ x \right\} veya m=\min \left\{ x|\,x\in X \right\} şeklinde gösterilir.

Örneğin X=\left\{ x\in \mathbb{R}|\,-1<x<1 \right\} kümesinin minimum veya maksimum elemanları yoktur. Fakat Y=\left\{ x\in \mathbb{R}|\,-1\le x\le 1 \right\} kümesinin minimum ve maksimum elemanları vardır ve sırasıyla -1 ve 1 dir.

X\subset \mathbb{R} alt kümesi üstten sınırlı olduğunda,

B=\left\{ b\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, x\le{b} \right\}

kümesi boş değildir. Benzer şekilde, X\subset \mathbb{R} alt kümesi alttan sınırlı olduğunda,

A=\left\{ a\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, a\le{x} \right\}

kümesi boş değildir.

TANIM3:

(i) X\subset{\mathbb{R}} alt kümesi üstten sınırlı ise B=\left\{ b\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, x\le{b} \right\} kümesinin en küçük elemanına X kümesinin en küçük üst sınırı denir ve \sup{X} ile gösterilir.

(ii) X\subset{\mathbb{R}} alt kümesi alttan sınırlı ise A=\left\{ a\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, a\le{x} \right\} kümesinin en büyük elemanına X kümesinin en büyük alt sınırı denir ve \inf{X} ile gösterilir.

Bu tanıma göre,

\sup{X}=\min \left\{ b\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, x\le{b} \right\}

\inf{X}=\max \left\{ a\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, a\le{x} \right\}

dir.

\mathbb{R}‘nin her alt kümesinin maksimum ve minimumu yoktur. Peki supremum ve infimum için de aynı durum geçerli midir? Bu sorunun cevabı aşağıdaki teorem ile verilebilir:

TEOREM2 (Üst Sınır Problemi): \mathbb{R}‘nin boştan farklı ve üstten sınırlı her alt kümesinin bir tek en küçük üst sınırı (supremumu) vardır. (Bu özelliğe supremum özelliği denir)

İSPAT:

Yukardaki teoreme benzer olarak aşağıdaki teorem ispatlanabilir:

TEOREM3 (Alt Sınır Problemi): \mathbb{R}‘nin boştan farklı ve alttan sınırlı her alt kümesinin bir tek en büyük alt sınırı (infimumu) vardır. (Bu özelliğe infimum özelliği denir)

TEOREM4: \varnothing\ne{X}\subset{\mathbb{R}} ve l,L\in{\mathbb{R}} olsun. Bu takdirde aşağıdakiler doğrudur:

(i) \sup{X}=L \iff

(a) \forall{x}\in{A}, x\le{L},

(b) \forall{\varepsilon}>0, \exists{x_{\varepsilon}}\in{X}: L-\varepsilon<x_{\varepsilon}.

(ii) \inf{X}=l \iff

(a) \forall{x}\in{X}, l\le{x},

(b) \forall{\varepsilon}>0, \exists{x_{\varepsilon}}\in{X}: x_{\varepsilon}<l+\varepsilon.

İSPAT:

TANIM4: a ve b iki reel sayı ve a<b olsun. \left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,a<x<b \right\} kümesine a başlangıçlı b bitimli açık aralık denir ve \left( a,b \right) (veya \left] a,b \right[) şeklinde gösterilir. Benzer olarak \left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,a\le x\le b \right\} kümesine a başlangıçlı b bitimli kapalı aralık denir ve \left[ a,b \right] şeklinde gösterilir. Ayrıca yarı açık aralıklar aşağıdaki gibi tanımlanır:

\left( a,b \right]=\left] a,b \right]=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,a<x\le b \right\} a’da açık b’de kapalı yarı açık aralık,

\left[ a,b \right)=\left[ a,b \right[=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,a\le x<b \right\} a’da kapalı b’de açık yarı açık aralık.

a,b\in \mathbb{R} olmak üzere (a,+\infty), [a,+\infty), (-\infty,b), (-\infty,b] ve (-\infty,+\infty) aralıkları aşağıdaki şekilde tanımlanır:

(a,+\infty)=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x>a \right\},

[a,+\infty)=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x\ge a \right\},

(-\infty,b)=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x<b \right\},

(-\infty,b]=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x\le b \right\},

(-\infty,+\infty)=\mathbb{R}.

\mathbb{R} reel sayılar kümesine -\infty ve +\infty ile gösterilen ve eksi sonsuz, artı sonsuz olarak okunan iki yeni sembolü ilave etmek suretiyle elde edilen \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty,+\infty\} kümesine genişletilmiş reel sayılar kümesi denir. Bu yeni tanımlanan kümenin aşağıdaki koşulları sağladığı kabul edilir:

1. \forall x\in \mathbb{R} için,

a) -\infty <x<+\infty,

b) x-(+\infty )=x-\infty =-\infty,

c) x+(+\infty )=x+\infty =+\infty,

d) x-(-\infty )=x+\infty =+\infty,

2.

a) +\infty +(+\infty )=+\infty,

b) -\infty +(-\infty )=-\infty,

3. \forall x\in {{\mathbb{R}}_{+}} için,

a) x(+\infty )=+\infty,

b) x(-\infty )=-\infty,

4. \forall x\in {{\mathbb{R}}_{-}} için,

a) x(+\infty )=-\infty,

b) x(-\infty )=+\infty,

5.

a) (+\infty )(+\infty )=+\infty,

b) (-\infty )(-\infty )=+\infty,

c) (+\infty )(-\infty )=-\infty,

6. \forall x\in \mathbb{R} için,

a) \displaystyle{\frac{x}{+\infty }=0},

b) \displaystyle{\frac{x}{-\infty }=0}.

Boş olmayan X\subset \overline{\mathbb{R}} alt kümesi verilsin. Eğer X kümesi alttan sınırlı değilse \inf X=-\infty, üstten sınırlı değilse \sup X=+\infty gibi tanımlanır. Buna göre, \overline{\mathbb{R}}’ın boş olmayan her alt kümesinin hem infimumu hem de supremumu vardır.

TANIM5: x\in \mathbb{R} sayısının mutlak değeri (veya modülü) aşağıdaki gibi tanımlanır:

|x|=\bigg\{ {\:\:\:}x,\:\:x\ge{0}\\-x,\,x<0

TEOREM5:

i) \forall{x}\in{\mathbb{R}}, |-x|=|x|\ge{0},

ii) |x|=0\Leftrightarrow{x=0},

iii) \forall{x}\in{\mathbb{R}}, -x\le{|x|} ve x\le{|x|},

iv) \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}, |ab|=|a||b| ve \displaystyle{\left| \frac{a}{b} \right| =\frac{|a|}{|b|}} (b\ne{0}),

v) \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}, |a\pm{b}|\le{|a|+|b|},

vi) \forall{a,b}\in{\mathbb{R}}, \big| |a|-|b| \big| \le{|a-b|},

vii) |x|<r\Leftrightarrow{-r<x<r},

viii) |x|\le{r}\Leftrightarrow{-r\le{x}\le{r}},

ix) |x|>r\Leftrightarrow{x<-r\lor{x>r}},

x) |x|\ge{r}\Leftrightarrow{x\le{-r}\lor{x\ge{r}}}.

İSPAT:

a\in \mathbb{R} ve b\in \mathbb{R} sayıları için \left| a-b \right|=\left| b-a \right| sayısına a ve b noktaları arasındaki uzaklık (mesafe) denir ve d\left( a,b \right) ile gösterilir.

a,b\in \mathbb{R} ve a<b olmak üzere b-a>0 sayısına (a,b), [a,b), (a,b] ve [a,b] aralıklarının uzunluğu (veya boyu) denir.

Kaynak:http://www.akademikmatematik.com

You can leave a response, or trackback from your own site.

Leave a Reply

Current day month ye@r *