‘8. Sınıf’ Kategorisi Yazıları

8. Sınıf Koordinat Sisteminde Yansıma

x eksenine göre Yansıma:
Aşağıdaki şekilde ABCD dörtgeninin x eksenine göre yansıması olan A’B’C’D’ dörtgeni çizilmiştir.

ABCD dörtgeninin köşelerinin koordinatları A(1, 1), B(4, 1), C(4, 3) ve D(1, 3) tür. A’B’C’D’ dörtgeninin köşelerinin koordinatları ise
A’(1, -1), B’(4, -1), C’(4, -3) ve D’(1, -3) tür.

 

Aşağıda da görüldüğü gibi köşe noktaları verilen bir çokgenin x eksenine göre yansıması alınırken
köşe noktalarının apsis değerleri değişmez ordinat değerleri işaret değiştirir.

koordinat-yansima-1

y Eksenine göre Simetri

Aşağıdaki şekilde ABC üçgeninin y eksenine göre yansıması olan A’B’C’ üçgeni çizilmiştir. ABC üçgeninin köşelerinin koordinatları A(-4, 1), B(-1, 1) ve C(-4, 3) tür.

A’B'C’ üçgeninin köşelerinin koordinatları ise A’(4, 1), B’(1, 1) ve C’(4, 3) tür. Aşağıda da görüldüğü gibi köşe noktaları verilen bir çokgenin y eksenine göre yansıması alınırken köşe noktalarının ordinat değerleri değişmez apsis değerleri işaret değiştirir.

koordinat-yansima-2

8. Sınıf Yansıyan ve Dönen Şekiller-2

Aşağıda yansıyan ve dönen şekillerle ilgili resimler verilmiştir. İnceleyiniz.

yansiyan-1

 

yansiyan-2

Fraktallar ve Doğa

Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş veya büyütülmüş modelleriyle inşa  edilen örüntülere fraktal adı verilir. Halı veya kilim desenlerini,  pisagor ağacını fraktallara örnek verebiliriz.Bir cismi oluşturan  parçalar ya da bileşenlerin cismin tamamına benzemesi matematikte  "fraktal" olarak adlandırılır.Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek  küçülen ölçeklerde tekrarlanır. Öyle ki bütünün her bir parçası  büyütüldüğünde yine cismin bütününe benzer. Fraktal terimi parçalanmış  ya da kırılmış anlamına gelen Latince "fractus" sözcüğünden  türetilmiştir.

İlk  olarak 1975’te Polonya asıllı matematikçi Beneoit B. Mandelbrot  tarafından ortaya atılan fraktal kavramı, yalnızca matematik değil  fizikokimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar  üzerinde önemli etki-ler meydana getiren yeni bir geometri sisteminin  doğmasına yol açmıştır. Bu tanımlar ışığında gözlerimizi tabiata  çevirdiğimizde sayısız fraktal cisimlerle, hatta manzaralarla  karşılaşırız. Kar tanelerinin kristal şekilleri kendi başlarına birer  fraktaldır. Bir ağaç, bir gövdeye, onun üzerinde birkaç ana dala, her  bir ana dalın üzerindeki daha ince dallara ve onların da üzerinde bu  şekilde çoğalan nice dallara sahiptir. Baktığınızda bu ağacın geometrisi  bir kaos ve düzensizlik içindedir. Ağaçtan bir dal koparıp onu  incelediğinizde o dal parçası şekil olarak ağacın kendisine benzemekte  ve adeta minyatür bir ağaç oluvermektedir. Bu dal parçasının kendine ait  bir gövdesi, kolları ve daha ince dalları vardır. Belirli bir ağacın  şekli üzerinde tohumdaki genetik program, alabildiği güneş ışığı, iklim  koşulları, maruz kalınan hastalıklar, toprak koşulları, diğer ağaçların  konumu vb. de dahil olmak üzere birbirine bağlı birçok karmaşık etken  rol oynar. Akciğerlerimizdeki bronş ve bronşcuklar da ağaçlardaki gibi  fraktal uzanıma sahiptir. Akarsular da yatakları boyunca kollara  derelere çaylara ve daha küçük kanallara bölünür. Bir dere ya da nehir  tek başına incelendiğinde o da nice kollara ayrılır. Benzer durum  vücudumuzdaki damar sisteminde de mevcuttur. Çöllerdeki kumların rüzgar  nedeni ile aldığı şekiller ve sakin bir havada denizdeki dalgaların  şekilleri de fraktal yapıya birer örnek olarak verilebilir. Tabiatta var  olması mümkün olan çok geniş ve eşsiz bir fraktal dağılım  bulunmaktadır. Özellikle bilgisayar ekranlarında matematiksel  formüllerle üretilen bazı fraktal biçimlerde eşsiz olma durumu bir  dereceye kadar mekaniktir. Doğadaki ve sanattaki diğer fraktallerde  kendi kendine benzerlik, bu tanıma baş kaldırırcasına farklı olan  şeylerle bir arada bulunur. Mikroevren ve Makroevren arasındaki  benzersiz fraktal yapılar dinamik bir sistemin içinde meydana gelen  karmaşık ilişkilerin hepsinin bir ürünüdür. Gerçekliğin fraktal  özelliklerine dikkat etmek; dünyayı oluşturan ve onu bir arada tutan  gizemli, tahmin edilmez hareketi bir anlığına görmenin bir yoludur.  Fraktal şekiller bilgisayar yardımı ile matematiksel olarak da  modellenebilmektedir. Matematiksel fraktallar etkileyicidir, ama tekrar  tekrar gördükten sonra böyle bir objenin tazeliği solar. Aynı durum,  karmaşık bir süreçten ortaya çıkan, bu sayede sayısız "bölüm" ün  birbirleriyle karşılıklı bağlantı içerisinde olan doğanın yaradılışları  için söz konusu değildir; bu, bir algoritmanın tekrarlanması ile  üretilen matematiksel bir taklide karşı hakiki kaosdur. Sonuç olarak,  doğal fraktaller eşşizlik, kendiliğindenlik, derinlik ve gizem  niteliğine sahiptir. Bu noktada karşımıza ‘kaos’ kavramı çıkmaktadır.  Örnekleri verilen fraktal yapının bütününe ve parçalarına ait bir kural  ortaya konamaz. Fraktal gelişim yani daha küçük benzer yapıların oluşma  süreçleri daha önceden belirlenemez ve öngörülemezler. Günlük dilde  kaosu, dağınıklık, kargaşa, keşmekeş, başıbozukluk, düzensizlik,  hercümerç, dağdağa sözcüklerine yakın bir mana vererek, olumsuz durumlar  için kullanıyoruz. Kaos Yunanca’da (khaos), yarık, boşluk, uçurum,  hudutsuzluk, ıssızlık, girdap manalarını taşı-yor. Günlük dilden geçmiş  olmakla birlikte kaos terimi, denetlenemeyen, öngörülemeyen küçük  değişikliklerin büyük sonuçlara yol açtığı veya büyük değişikliklerin  bir şey olmamışçasına yavaş yavaş kaybolduğu bir dünyanın kapısını  aralamaya cesaret eden bilimcilerin dilinde farklı bir anlam kazanır.  Kaos, hareketler, taşınmalar, doğumlarla; büyümeler, yıpranmalar,  başkalaşmalarla; onarmalar, iyileşmeler, kırılmalar, yıkılışlar,  patlamalar, heyelanlarla ilgilidir. Kaos için en kısa ve etkili olan  "dü-zensizliğin düzeni" tanımıdır. Kaos, kuralsız bir başlangıcı, tahmin  edilemez bir gelişimi ve artan bir karmaşıklığı anlatmaktadır. Kaosun  tanımı entropiyi de hatırımıza getirmektedir. Entropi de kısaca bir  sistemin ki bu sistem evrenin kendisi olabileceği gibi bir molekül ya da  hareketli cisimler grubu da olabilir- düzensizliğindeki artışın bir  göstergesidir. Entropi her ne kadar evrendeki termodinamik yasalar için  kullanılsa da genel manada düzensizliğin artışını anlatan bir kavramdır.  Tabiatta bir başlangıçı olan her varlık ve ona ait gelişim süreci geri  dönüşü olmayan bir kaosa ve entropiye sahiptir. Büyüme, gelişme ve  çoğalma zaman içerisinde karmaşık bir yapılaşmayı getirecektir.  Tabiattaki bu kaos bizim anladığımız anarşi içeren değil aksine birbiri  ile uyumlu, işbirliği yapan, birbirine destek olan ve en mükemmel  estetiği içinde barındıran bir haldir. Karmaşık süreçlerin bildiğimiz  fiziksel ve matematiksel kurallara hapsolmamış olması özgürlük  kavramının tabiatta en doğru olarak bize anlatılmasıdır. Kalıplar yok,  birbirinin benzeri olsa da hiçbirşey aynı değil, her parça ayrı bir yol  izlese de ortak olarak bir bütünü oluşturup onu geliştiriyorlar. Hiçbir  eleman bir diğerinin gelişimini engellemediği gibi, birbirlerine destek  oluyor. Her bir farklılık bütünü daha da zenginleştirmektedir. Kaosta  aslında bir düzen var; fakat bunu zihinlerimizde bir fomüle oturtamıyor  oluşumuz ona bir düzensizlik sıfatı da eklememize neden oluyor. Tabiatın  bu karakterinde bir rastgelelik görünse de sezdiğimiz ama, henüz  anlayamadığımız planlar ve hesaplar bu kaosun her bir ferdinin  varlığında mevcuttur. Tabiatı seyrederken ve incelerken bakışlarımızı  ayrıntılara, bütünün parçalarına hatta parçaların da daha küçük  elemanlarına yöneltiğimizde bilip gördüğümüzden daha zengin daha  görkemli bir doğa göreceğiz.

Eşkenar Üçgen ve Altıgen Fraktalı

 

Bu  doğru parçaları bir üçgen üzerinde oluşturulmuştur. Dolayısıyla  fraktaldır, ama eşkenar üçgen veya altıgen fraktalı deyil, doğru parçası  fraktalıdır.Sadece oluştuğu yerler eşkenar üçgen ve altıgendir.



NOT:  Bazı dersaneler haklı olarak test sorularında eşkenar üçgen ve altıgen  fraktalı olamaz diye not düşmüşler.Çünkü fraktal bir şeklin orantılı  olarak küçültülmüş yada büyültülmüşleri ile inşa edilen örüntülerdir.Bu  sebeble karışıklık oluşmuştur.Aslında burada doğru parçası fraktalı  vardır.Ama meydana geldiği yerler eşkenar üçgen ve altıgendir.Sonuç  olarak MEB kitabında eşkenar üçgen ve altıgen üzerinde meydana gelen  örüntüler fraktal olarak alınmıştır.Bizde fraktal kabul edeceğiz. FRAKTALLAR VE ÖRÜNTÜLER



www.matematikcifatih.tr.gg


Alttaki şekiller birer fraktaldır.

Fraktallarla İlgili Örnek Sorular ve Cevapları 1) Yukarıdaki soruda  1.adımda 1 kare, 2.adımda 2 kare 4 üçgen, 3.adımda 3 kare 8 üçgen,  4.adımda 4 kare 12 üçgen vardır. Soruda 4.adım olarak gösterdiği şekil  3.adımın şeklidir.Karelerin sayısının üçgenlerin sayısına oranı 4/12  yani 1/3'tür.Doğru cevap D şıkkıdır.
2) Yukarıdaki soruda  ilk 3 adım parçalanarak giden fraktaldır.Ama 3. adımdan sonra işler  değişmiştir.Araya çarpılar girmiş fraktal bozulmuştur.Doğru cevap B  şıkkıdır.
3) Yukarıdaki soruda  A,B,D seçenekleri sadece örüntüdür.Ama C seçeneğindeki örüntü  fraktaldır.Kare 9'a ayrılıp ortadaki parça yine 9'a bölünerek devam  etmiştir.Doğru cevap C şıkkıdır.
4) Yukarıdaki soruda  A,C,D seçeneklerinde ilk verilen şekil küçültülerek devam ettirilmiş  fraktal örnekleridir.Ama B seçeneği fraktal deyil sadece örüntüdür.Doğru  cevap B şıkkıdır.

8. Sınıf Yansıyan ve Dönen Şekiller

8. Sınıf Yansıyan ve dönen şekiller

1) Yansıyan şekiller 7. sınıfta  yansımadan ve dönen şekillerden bahsetmiştik.Yansıma: Bir şeklin belli bir referans noktasına göre görüntüsüdür.Yansımaya bir kaç örnek verelim.

  Read more »

8.sinif Fraktallar Videolu Konu Anlatımı

Fraktallar nedir tanımı bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş yada büyütülmüş modelleriyle inşa edilen örüntülerine fraktal denir. Kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen şekilleri, kendine benzer bir cismi oluşturan bileşenler ya da parçalar cismin bütününü inceler. Desenler nedir tanımı özelleri aşağıdadır.